حل المعادلات الديفونتية بطريقة خوارزميات القسمة :
نفرض ان المعادلة على الصورة
أس + ب ص = ج
لكي يكون لهذه المعادلة حل في مجموعة الاعداد الصحيحة
لابد أن يكون قاسم ( أ ، ب ) = د يقسم ج ( وهذا شرط لازم وكافي )
مثال :
حل المعادلة التالية في ص
56 س + 72ص = 40
الحل :
نوجد قاسم ( أ ،ب ) بطريقة خوارزمية القسمة :
نبدأ بالمعامل الاكبر بين س و ص
72= 1× 56 + 16 [ يعني نجعله كتركيب خطي بالنسبة للمعامل الثاني معامل ب (56 ) ]
56 = 3×16 + 8
16 = 2×8 + 0 ( اخر عدد قبل الصفر كباقي هو القاسم المشترك الاكبر للعددين )
اذا قاسم ( 72 ، 56 ) = 8 ،،،،،،،،،،، لاحظ ان 8 تقسم 40 ،،،،، يعني للمعادلة حل
الا ايجاد الحل نرجع لاخر خطوة قبل الصفر ونعكس العملية كالتالي :
8 = 56 - 3× 16 ( نوجد 16 من الخطوة الاولى ونعوض هنا ) فجد
8 = 56 - 3 ×( 72 - 1×56 ) نفك الاقواس ونبسط بشرط المحافظه على المعاملات 72 ، 56
56 ( 4 ) + 72 ( -3 ) = 8 ( لاحظ اننا حصلنا على نفس شكل المعادلة من حيث المعاملات ويبقى الحد الثابت 8 ونريده 40 اذا نضرب طرفي المعادلة في 5 مع المحافظه على المعاملات يعني نضرب الاعدا التي داخل القوس .
نحصل بعد الضرب في 5 على :
56 ( 20 ) + 72( -15) = 40
لاحظ ان ما بين القوسين هي قيم س وص وتسمى حل ابتدائي ( س0 = 20 ، ص0 = -15 )
طبعا الحل العام لهذه المعادلة
س = س0 + ك ( ب/د) ،،،،،، حيث ب معمل ص ،،،، د القاسم المشترك الاكبر لمعاملين و ك عدد صحيح
ص = ص0 - ك ( أ / د ) ،،،،،، حيث أ معامل س ،،،، د القاسم المشترك الاكبر لمعاملين و ك عدد صحيح
طبعا نلاحظ انه قد يكون الحل الابتدائي سالبا ونحن مثلا بصدد حل مسألة يجب ان تكون قيم المتغيرات موجبة . ففي هذه الحالة نبحث عن اول قيم ك الصحيحة التي تجعل س موجبا بمعنى نحل المتباينة س> 0 فنوجد ك ومن ثم نوجد س الموجبة .
نفرض ان المعادلة على الصورة
أس + ب ص = ج
لكي يكون لهذه المعادلة حل في مجموعة الاعداد الصحيحة
لابد أن يكون قاسم ( أ ، ب ) = د يقسم ج ( وهذا شرط لازم وكافي )
مثال :
حل المعادلة التالية في ص
56 س + 72ص = 40
الحل :
نوجد قاسم ( أ ،ب ) بطريقة خوارزمية القسمة :
نبدأ بالمعامل الاكبر بين س و ص
72= 1× 56 + 16 [ يعني نجعله كتركيب خطي بالنسبة للمعامل الثاني معامل ب (56 ) ]
56 = 3×16 + 8
16 = 2×8 + 0 ( اخر عدد قبل الصفر كباقي هو القاسم المشترك الاكبر للعددين )
اذا قاسم ( 72 ، 56 ) = 8 ،،،،،،،،،،، لاحظ ان 8 تقسم 40 ،،،،، يعني للمعادلة حل
الا ايجاد الحل نرجع لاخر خطوة قبل الصفر ونعكس العملية كالتالي :
8 = 56 - 3× 16 ( نوجد 16 من الخطوة الاولى ونعوض هنا ) فجد
8 = 56 - 3 ×( 72 - 1×56 ) نفك الاقواس ونبسط بشرط المحافظه على المعاملات 72 ، 56
56 ( 4 ) + 72 ( -3 ) = 8 ( لاحظ اننا حصلنا على نفس شكل المعادلة من حيث المعاملات ويبقى الحد الثابت 8 ونريده 40 اذا نضرب طرفي المعادلة في 5 مع المحافظه على المعاملات يعني نضرب الاعدا التي داخل القوس .
نحصل بعد الضرب في 5 على :
56 ( 20 ) + 72( -15) = 40
لاحظ ان ما بين القوسين هي قيم س وص وتسمى حل ابتدائي ( س0 = 20 ، ص0 = -15 )
طبعا الحل العام لهذه المعادلة
س = س0 + ك ( ب/د) ،،،،،، حيث ب معمل ص ،،،، د القاسم المشترك الاكبر لمعاملين و ك عدد صحيح
ص = ص0 - ك ( أ / د ) ،،،،،، حيث أ معامل س ،،،، د القاسم المشترك الاكبر لمعاملين و ك عدد صحيح
طبعا نلاحظ انه قد يكون الحل الابتدائي سالبا ونحن مثلا بصدد حل مسألة يجب ان تكون قيم المتغيرات موجبة . ففي هذه الحالة نبحث عن اول قيم ك الصحيحة التي تجعل س موجبا بمعنى نحل المتباينة س> 0 فنوجد ك ومن ثم نوجد س الموجبة .