حل معادلات الدرجة الثالثة بمجهول واحد :
الاختزال ...
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثالثة بمجهول واحد هي :
س3+ ب س2 + جـ س = م بإضافة وطرح المقدار (ب2/3 ) س
س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + جـ س - (ب2/3 ) س = م
بإضافة (ب/3)3 إلى الطرفين نصل إلى :
س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + (ب/3)3 +جـ س - (ب2/3 )
س = م + (ب/3)3 بإكمال المكعب وبالتبسيط نحصل على :
[س+(ب/3)]3 + [جـ - (ب2/3)] س = م + (ب/3)3
الآن وباعتبار س+(ب/3) = ص ومنه س= ص-(ب/3) و بالتعويض في المعادلة السابقة يكون الناتج:
ص3 + [جـ - (ب2/3) ][ ص-(ب/3)]= م+ (ب/3)3 وبالتوزيع :
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص - (ب/3)[جـ - (ب2/3)] = م + (ب/3)3 وبالتالي:
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م + (ب/3)3 + (ب/3)[جـ - (ب2/3)]
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م +(ب/3)3 +(ب/3)[جـ -(ب2/3)]
بافتراض أن : جـ -(ب2/3) = و , م + (ب/3)3 + (ب/3)جــ - (ب2 /3)] = ث اذاً المعادلة تصبح :
ص3 + وص = ث
---------------------------------------
طريقتي في حل المعادلة : ص3 + وص = ث ( طريقة غندر )
ص3 + وص = ث (1)
نفترض وجود المعادلة التالية: ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث (2)
معادلة يمكن حلها بإكمال المكعب
بالمقابلة بين (1) و (2 ) ينتج :
وص =3ك ص2 +3ك2ص
أي أن: وص =3ك ص2 +3ك2ص
3ك ص2 = وص -3ك2ص
3ك ص2 = ص( و -3ك2)
ص =( و -3ك2)/3ك *
وفي المعادلة (2) نضيف ك3 إلى الطرفين فتصبح :
ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص + ك3 = ث + ك3
بإكمال المكعب:
(ص+ ك)3 = ث+ ك3
(ص+ ك) = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 )
ص= الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك ++++
من * , ++++
(و-3ك2)/3 ك = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك يكافئ
و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )
و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )
و-3ك2 =3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) -3ك2
و = 3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) بالتكعيب
و3 = 27 ك3 ( ث + ك3 )
و3 = 27( ك3)2+ 27 ك3 ث
( ك3)2+ ك3 ث + = ( و/3) 3
بحل المعادلة التربيعية في ك3
ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )
نعوض في * لنحصل على قيمة ص وهو التعويض الأسهل وهو الجديد في هذه الطريقة أو نعوض في ++++ لنحصل على نفس النتيجة الأخيرة عند كاردان موافقة لطريقة كاردان .
بأخذ التعويض الأول :
من الاختزال :
و = (ب2)/3
ث= م + (ب/3) و + (ب/3)3 ص = (و -3ك3)/3ك
ولكن :
ص= س+(ب/3)
إذا
س = ص - (ب/3)
س= ( و -3ك2)/3ك - (ب/3)
س= (و - ب ك - 3ك2)/ 3ك
حيث ك لا تساوي الصفر (1)
الآن ما هي الحالة ك =0 لا حظ المعادلة الثانية في البرهان السابق :
ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث
الآن: ك=0 ماذا يحدث للمعادلة
تتحول إلى المعادلة البسيطة التالية :
ص3 = ث
ومنها :
ص = جذر ( ث )
ولكن :
ص= س + (ب/3)
اذاً
س + ( ب / 3 ) = جذر ث
ومنها
س = جذر ث - ( ب / 3 ) ( 2 )
الآن نصوغ الطريقة بشكل شامل كالتالي :
الطريقة العامة لحل معادلة الدرجة الثالثة س3 + ب س2+ جـ س = م , م لاتساوي الصفر
نحسب :
و= جـ - (ب2/3) ث= م +(ب/3) و + (ب/3)3 ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )
(1) عندما ك لا تساوي الصفر :
س= (و - ب ك - 3ك2) / 3 ك
(2) عندما ك = 0
س = جذر ث - ( ب / 3 )
بمعلومية الحل الأول س
نوجد الحلين الآخرين باستخدام القسمة المطولة أو من هذا القانون :
[ - ( ب + س ) /2 ] موجب أو سالب جذر [ ( - 4 م + س ( س + ب )^2 ) / 4 س ]
(عندما يكون المميز = 0 فالحلان الآخران متساويان )
الاختزال ...
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثالثة بمجهول واحد هي :
س3+ ب س2 + جـ س = م بإضافة وطرح المقدار (ب2/3 ) س
س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + جـ س - (ب2/3 ) س = م
بإضافة (ب/3)3 إلى الطرفين نصل إلى :
س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + (ب/3)3 +جـ س - (ب2/3 )
س = م + (ب/3)3 بإكمال المكعب وبالتبسيط نحصل على :
[س+(ب/3)]3 + [جـ - (ب2/3)] س = م + (ب/3)3
الآن وباعتبار س+(ب/3) = ص ومنه س= ص-(ب/3) و بالتعويض في المعادلة السابقة يكون الناتج:
ص3 + [جـ - (ب2/3) ][ ص-(ب/3)]= م+ (ب/3)3 وبالتوزيع :
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص - (ب/3)[جـ - (ب2/3)] = م + (ب/3)3 وبالتالي:
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م + (ب/3)3 + (ب/3)[جـ - (ب2/3)]
ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م +(ب/3)3 +(ب/3)[جـ -(ب2/3)]
بافتراض أن : جـ -(ب2/3) = و , م + (ب/3)3 + (ب/3)جــ - (ب2 /3)] = ث اذاً المعادلة تصبح :
ص3 + وص = ث
---------------------------------------
طريقتي في حل المعادلة : ص3 + وص = ث ( طريقة غندر )
ص3 + وص = ث (1)
نفترض وجود المعادلة التالية: ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث (2)
معادلة يمكن حلها بإكمال المكعب
بالمقابلة بين (1) و (2 ) ينتج :
وص =3ك ص2 +3ك2ص
أي أن: وص =3ك ص2 +3ك2ص
3ك ص2 = وص -3ك2ص
3ك ص2 = ص( و -3ك2)
ص =( و -3ك2)/3ك *
وفي المعادلة (2) نضيف ك3 إلى الطرفين فتصبح :
ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص + ك3 = ث + ك3
بإكمال المكعب:
(ص+ ك)3 = ث+ ك3
(ص+ ك) = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 )
ص= الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك ++++
من * , ++++
(و-3ك2)/3 ك = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك يكافئ
و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )
و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )
و-3ك2 =3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) -3ك2
و = 3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) بالتكعيب
و3 = 27 ك3 ( ث + ك3 )
و3 = 27( ك3)2+ 27 ك3 ث
( ك3)2+ ك3 ث + = ( و/3) 3
بحل المعادلة التربيعية في ك3
ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )
نعوض في * لنحصل على قيمة ص وهو التعويض الأسهل وهو الجديد في هذه الطريقة أو نعوض في ++++ لنحصل على نفس النتيجة الأخيرة عند كاردان موافقة لطريقة كاردان .
بأخذ التعويض الأول :
من الاختزال :
و = (ب2)/3
ث= م + (ب/3) و + (ب/3)3 ص = (و -3ك3)/3ك
ولكن :
ص= س+(ب/3)
إذا
س = ص - (ب/3)
س= ( و -3ك2)/3ك - (ب/3)
س= (و - ب ك - 3ك2)/ 3ك
حيث ك لا تساوي الصفر (1)
الآن ما هي الحالة ك =0 لا حظ المعادلة الثانية في البرهان السابق :
ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث
الآن: ك=0 ماذا يحدث للمعادلة
تتحول إلى المعادلة البسيطة التالية :
ص3 = ث
ومنها :
ص = جذر ( ث )
ولكن :
ص= س + (ب/3)
اذاً
س + ( ب / 3 ) = جذر ث
ومنها
س = جذر ث - ( ب / 3 ) ( 2 )
الآن نصوغ الطريقة بشكل شامل كالتالي :
الطريقة العامة لحل معادلة الدرجة الثالثة س3 + ب س2+ جـ س = م , م لاتساوي الصفر
نحسب :
و= جـ - (ب2/3) ث= م +(ب/3) و + (ب/3)3 ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )
(1) عندما ك لا تساوي الصفر :
س= (و - ب ك - 3ك2) / 3 ك
(2) عندما ك = 0
س = جذر ث - ( ب / 3 )
بمعلومية الحل الأول س
نوجد الحلين الآخرين باستخدام القسمة المطولة أو من هذا القانون :
[ - ( ب + س ) /2 ] موجب أو سالب جذر [ ( - 4 م + س ( س + ب )^2 ) / 4 س ]
(عندما يكون المميز = 0 فالحلان الآخران متساويان )