المصفوفة

مصفوفة

يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالةرياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:

حيث a_ij يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية. ==

العمليات على المصفوفات

:جمع المصفوفات

لكى يتسنى جمع مصفوفتين فلابد ان يكونا من نفس الحيز. ويعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة من جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فعلى سبيل المثال إذا كان

ِ , فإن

و بصفة عامة إذا كان

A_mxn = a_ij,B_mxn = b_ij

فإن A + B هي مصفوفة جديدة C_mxn = c_ij حيث

c_ij = a_ij + b_ij

ضرب المصفوفات
ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر



نضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة، مصفوفة جديدة، تحوي العدد نفسه من العناصر.
] ضرب مصفوفة في مصفوفة

• يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.
  
• من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:
  

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية.



حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة: هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى: 1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث. 2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

توضيح

a11 a12 a13 a11 a12

a 21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32



الطريقة الثانية:

ملحوظة: الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.

الفك عن طريق المتعاملات: إذا كانت مصفوفة من الدرجة نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه

ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان 1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i

2. 3. ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد وبالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة